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「縁側」-みんなが作る掲示板-からのお知らせ
縁側からのお知らせ

縁側をご利用いただく際のルール&マナー集を用意いたしました
ユーザーの皆様に楽しくご参加いただけるよう、主に投稿時の注意点などをまとめています。
ご投稿の前には必ずご一読をお願いいたします。詳しくはこちら⇒「縁側 ルール&マナー

紹介文

デジタルカメラでの撮影は、簡単手軽に楽しめます。勿論、撮影自体を楽しむ事が何より大切ですが、デジタルカメラの仕組みを、初歩的な物理学等を駆使して、解明して行こうと言うのが、この会の目的です。

議論を進める上での根拠は、真っ当な資料に限定します。具体的には、大学の講義資料等を想定しています。大学の講義資料等ですので、専門家から見れば、基本中の基本に相当します。万一、専門家がご覧になられても、「真っ当な」ヨチヨチ歩きだね!と微笑んで頂けるように、「まったり」歩んで行くのが目標です。

皆さん、「エアリーディスク」駅から「真っ当」駅への旅を、ご一緒に「まったり」と楽しみましょう!!

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エアリーディスク駅から真っ当駅への旅を「まったり」楽しむ会の掲示板に新規書き込み

周波数(MTF)のF値依存性、実測値を計算値で除した商等、中心部

まったり会の皆さん

まったり会の方針等へのご意見を大募集します!!
PAMdiracさんは勿論ですが、他の方々からのご意見も是非お伺いしたく思っています。
よろしくお願い致します。

以下では、主に、空間領域、周波数領域、MTF等を中心に述べていますが、これらに限らず、こうした方がいいと言ったご提案や、ここが分かり難いと言った苦情等々、どんな事でも構いません。このスレに限り、話が飛ぼうが何をしようが全てOKですので、忌憚のないご意見をお聞かせ下さい。


事の発端は、またまた、PAMdiracさんからの鋭いご指摘です。スレ「まったり仮説」の[2182-54]にて、

> ミスター・スコップさんが最初に掲げられたように読者のわかりやすさを優先されるのでしたら、全て実空間の量にした方がわかりやすいと思いますが、いかがでしょうか?
> 横軸を空間周波数とするMTFチャートを描くのにFourier変換する必要は全く有りませんので。

とのご指摘を頂きました。当初から申し上げているように、 PAMdiracさんが作成下さった資料は、「まったり会・必読図書/お宝・第0号」です。数式の導出は、全て空間領域でなさっています。ですので、私は、周波数領域じゃないと駄目だと主張している訳ではありません。


スレ「出発進行」で非常に基本的な事柄を説明しました。まず、空間領域と周波数領域との説明から入ったように、空間領域と周波数領域とを意識した説明になっています。空間領域と周波数領域に限らないのですが、(自分では数式の導出等は出来ないのに)出来る限り、本質的なイメージを持って頂きたかったからです。対極的な位置にあるのが、「円と正方形との単なる大きさ較べ」です。スレ「出発進行」で散々ご説明したように、PSFそのものや、入力関数、出力関数との関係への認識が不足したまま、PSFの一つである、エアリー強度分布のさらに裾野部分であるエアリーディスクのみ、独り歩きしているのは、明らかに異常だと思っています。

それは、MTFでも同様です。[2182-14]で、以下のような譬え話をしました。

「単一周期関数は、空間領域と周波数領域とを繋ぐ扉だと見做せます。その為、空間領域からも、周波数領域からも、認識可能です。MTFそのものは、周波数領域に属していますが、MTFを空間領域でも実感出来るのは、コントラスト法で用いられる単一周期関数のお蔭だったと言う訳です。」

・PSF → フーリエ変換 → OTF    ‥‥ (1)
・MTF = 絶対値(OFT) [周波数領域]    ‥‥ (2)

さえ、ご理解頂くだけで、PSFとMTFとが属す領域が異なるだけの関数同士である事が良く分かると思います。


先にお断りしておきますが、私は、空間領域でPAMdiracさんのように数式が導出出来ないのと同様、フーリエ変換も公式等を見ない限り出来ません(発祥スレでは、ガウス関数のフーリエ変換を解析的に行えましたが、全くの偶然です)。ですので、周波数領域にしろ、空間領域にしろ、天下り的に数式を使う事には、差は殆どないと思います。自慢出来る事では全くありませんが‥。


何回もご紹介していますが、以下の関係があります。計算では、入力関数は、解像度チャート/正弦波等が殆どですが、実際の撮影では、入力関数は皆さんの目の前に拡がる被写体、出力関数は撮影画像です。そう思うと、現実味が湧いて来るのではないでしょうか?

・入力関数f(x,y) * PSF(x,y) = 出力関数g(x,y) [空間領域]    ‥‥ (3)
・入力関数F(u,v) × OTF(u,v) = 出力関数G(u,v) [周波数領域]    ‥‥ (4)
・MTF = 絶対値(OFT) [周波数領域]    ‥‥ (2)

PSFはボケに関わるモノなら全てPSF(数式ではなく、数表になるかもしれませんが)で表現出来ます。

・PSF(x,y) = PSF(回折限界) * PSF(収差) * PSF(手ブレ/被写体ブレ) * ‥‥ * PSF(画素)  [空間領域]    ‥‥ (5)
・OTF(u,v) = OTF(回折限界) × OTF(収差) × OTF(手ブレ/被写体ブレ) × ‥‥ × OTF(画素) [周波数領域]    ‥‥ (6)

 ↓

・MTF(u,v) = MTF(回折限界) × MTF(収差) × MTF(手ブレ/被写体ブレ) × ‥‥ × MTF(画素) [周波数領域]    ‥‥ (7)


空間領域と周波数領域とでは、演算「*」「×」が入れ替わります。つまり、要因別で考える場合には、コンボリューションでの演算となるPSFより、積での演算となるMTFの方が、簡単です。繰り返しになりますが、私の場合は、飽くまで、フーリエ変換は天下りが前提です。

1枚目は、スレ「まったり仮説」の[2182-53]でご紹介したグラフで、式(7)をそのまま使っています。これまた何回も申し上げていますが、私の計算値は胡散臭さ満載であるものの、正しい計算値に置き換えられれば、1枚目のような手法は有効と思っています。

2018/8/15 02:46  [2182-55]   

周波数(MTF)絶対値の画素ピッチ依存性、ボディ×レンズ:延べ81組 OpticalLimitsとLensTipとの相関性

【補足】
PAMdiracさんとのやり取りの切っ掛けは、ImatestのMTF測定方法に関してです。この事に関し、思う所が2つあるので、付記しておきます。

1つ目は、Imatest、あるいは一般的な写真業界は別のようですが、MTFは正しく測定するのが一般的ですし、MTFを正しく求める方法に関する論文等も多数あります。ただし、論文等の分野は、医療関係(X線撮影系等)です。まったり会の画像に関する「指定図書」「参考図書」等も、やはり、医療との関連性が深いモノが殆どです。論文等では、コントラスト法、PSF、LSF、ESFのどの方法を用いるにしても、求めようとしているMTFは、(論文等で用いられた)それぞれの機器での正しいMTFで、用いられた方法毎に如何にして正しいMTFに近付けるのかが議論されています。つまり、(Imatestが採用している)傾斜ESFだから、他の方法と異なった測定結果でOKでは全くありません。

医療関係(X線撮影系等)でも、デジタル化が進んでいますから、画素の取り扱いに留意した測定方法が主流となっているようです(例えば、pre-sampled MTF)。また、医療関係(X線撮影系等)で、執拗に?正しいMTFを求めようとしているのは、「指定図書」「参考図書」等から妄想すると、多分、周波数領域で画像処理を行う為ではないかと思われます。誤った画像処理が行われたら、誤診、すなわち、人命にも関わって来ますので、正しいMTFを求める執拗さ?にも納得です。



2つ目は、1つ目と真逆ですが、私は、実測値が絶対値として正しいかどうかには、関心がありません。世の中のトレンドに合っていれば、仮に間違っていてもOKです。1枚目は、 スレ「まったり仮説」の[2182-39]でご紹介したグラフです。ここにはDPReview、ImagingResource、OpticalLimits、LensTipから得た実測値がプロットされていますが、 OpticalLimitsの実測値のみ、LensTipとの相関性から得られた式により換算しています。2枚目は、OpticalLimits(Imatestのソフトウェアにて測定)とLensTipとの相関性です。1枚目を再度ご覧頂ければ分かりますが、OpticalLimits以外は実測値をそのまま用いても、最小二乗法で求めた曲線から大きくは外れていません。ですので、矩形波を用いたコントラスト法によるMTF測定結果としては、世の中のトレンドに合っているとは言えると思います。しかし、それ以上の事は言えない、つまり、絶対値として正しいのかどうかの判断は、出来ないと思っています。ここが、実測値とドンピシャの理論値を導出なさるPAMdiracさんとの大きな違いですね。

例えば、カラーマネージメントシステムの場合、取引関係では統一されたカラーマネージメントシステムは構築出来るでしょうが、絶対に正しいと言い切れるカラーマネージメントシステムを目指そうとしたら、滅茶苦茶困難なはずです。私が求めているのは「統一されたカラーマネージメントシステム」であって、「正しいカラーマネージメントシステム」なのかどうかの判断等には労力を割かないと言う意味です。こうした考えに至ったのは、様々な実体験に基づいています。

2018/8/15 03:01  [2182-56]   

空間領域と周波数領域との関係

「まったり会」は、私の自己満足に過ぎないような気もしますが、私の基本的な考え方を、改めてご説明します。

真っ当な資料に基ずく、体系的な理解を大切にしたいと思っています。これは、私が断片的な知識しか持ち合わせていなかった事を(自覚はしていたものの)、発祥スレ等を通じ、痛感したからです。

ボケの付加/復元に関心を抱いた切っ掛けは、5D4(2016/09/08発売)に初搭載されたDPRAWに関する質問スレに回答しようと、自分なりに調べた事でした。2次元情報しか持たない画像データに加え、(この時初めて知った)depth mapを一緒に取得出来れば、ボケの付加/復元が可能となる事、ボケの関数として、近似的にガウス関数が用いられる事等を知りました。これらの断片的な知識に基づき、以下のような書き込みを行っています。

・【超蛇足】以降をご覧下さい。(2017/12/08の書き込み)
http://bbs.kakaku.com/bbs/K0000920685/So
rtID=21415370/#21415908


発祥スレを建てようとした頃から、やっと体系的な理解が進み、逆にそれまでの理解が文字通り断片的だった事を痛感しました。体系的な理解を端的に示すのが、スレ「出発進行」でも用いた1枚目の図です。たった、この1枚を知っているか知らないかで、体系的か断片的かの大きな違いが生じてしまいます。

今後も学ぶに従い、自分の理解不足を痛感する事が多々あると思います。特に、系統立った教育に接する機会の少ない社会人だと、体系的/俯瞰的な理解を常に意識しないと、どうしても断片的な知識に陥ってしまいます。



別件です。体系的とは言い難いのですし、全くの分野違いですが、私にとって、点が線となった瞬間をご紹介します。昨年(2017年)の5月に発生したランサムウェア(WannaCry)事件に関してです。事件発生当日から、

・NSA(アメリカ国家安全保障局)がハッキングされた事。
・WannaCryには、ハッキングにより流出したNSAの技術が使用された事。

は、「点」として知っていました(1つ目は、事件発生前から知っていました)。しかし、流出した技術は、NSAにとって武器だった事までは考えが及んでいませんでした。

・NSAが脆弱性を探り当て、秘匿したまま、ゼロデイアタック用の武器(注1)をどんどん編み出している事。

が、事件発生から数日後に「点」として加わり、「線」として繋がりました。

(注1)
WannaCryは、ゼロデイアタックではありません。

「線」として繋がると、Microsoft最高法務責任者・Brad Smith氏の発言、「これを通常兵器のシナリオに置き換えれば、米軍の『Tomahawk』ミサイルの一部が盗まれたのと同じことである。」が、非常にリアルに響きます。NSAに関し、色々調べたのは、言うまでもありません。



話を戻すと、式(1)〜(7)の関係を十分理解なさった上で、PAMdiracさんのように空間領域での考察のみから、周波数(MTF)のF値依存性を導出なさる方と、式(1)〜(7)の関係への理解を欠いたまま、 周波数(MTF)のF値依存性を導出なさる方とでは、全く同じ結果が得られたとしても、その意味合いは全く異なると思っています。後者の方の場合、エアリーディスク半径と画素ピッチとの関係を表面的に捉えてしまうと、円と正方形との単なる大きさ較べになってしまうのと同様、MTF測定方法の一つにしか過ぎないコントラスト法によるF値依存性の実測値と計算値との単なる比較で終わってしまう気がしてなりません。

PAMdiracさんは、「1次元周期的入力光の像とコントラスト(最新2018/07/22)」で、以下のご見解を示されています。

> レンズの収差: これは機材に大きく依存し、1 つの機材でもF 値によって出方が異なるのでユニバーサルな議論は不可能。F 値ごとに望遠鏡のようなスポット・ダイグラムのデータが必要か。

MTF(収差(注2))は見積もられるのではないか?と言うのが私の立場です。

このスレの冒頭[2182-55]の繰り返しになってしまいますが、私の計算値は胡散臭さ満載であるものの、正しい計算値に置き換えられれば、複合要素から成り立つMTFの実測値を、MTFの計算値で除せば、計算値には含まれていないMTF(収差)を得られると考えています。勿論、演算を周波数領域の「×」ではなく、空間領域の「*」でも同様の計算は可能ですから、空間領域でもPSF(収差)を得られます。ただ、式(1)〜(7)の関係を十分理解なさっておられれば、MTF(収差)にしろ、PSF(収差)にしろ、実測値と計算値とから得られるとお気付きになると思いますが、 式(1)〜(7)の関係への理解を欠いたままだと、 MTF(収差)/PSF(収差)が得られる事に気付かない可能性が高いのでは?と思われます。つまり、「MTF測定方法の一つにしか過ぎないコントラスト法によるF値依存性の実測値と計算値との単なる比較で終わってしまう」と言う事です。

(注2)
式(7)から、MTF(u,v)を、「MTF(回折限界) × MTF(画素)」で除した商には、「MTF(回折限界) × MTF(画素)」以外のMTFが全て含まれますが、ここではMTF(収差)で代表させています。

2018/8/26 18:36  [2182-61]   

DxOMarkのISO感度測定結果(全体) DxOMarkのISO感度測定結果(拡大) DxOMarkによるISO感度測定(オリンパス) DxOMarkによるISO感度測定(キヤノン)

2つ上の書き込み[2182-56]で、

> 私は、実測値が絶対値として正しいかどうかには、関心がありません。世の中のトレンドに合っていれば、仮に間違っていてもOKです。

と書きました。暴言かもしれませんが、前述の通り、こうした考えに至ったのは、様々な実体験に基づいています。

PAMdiracさんのご専門分野だと(思いっ切りの想像ですので、間違っていたら、ご容赦下さい)、先立つ理論の立証や新しい発見等に、実測値が用いられるので、絶対値こそが命のような世界だと思います。論文として発表されれば、(査読を含め)他の研究者の方々が、理論/(再現)実験等で検証なさるのでしょうから、絶対値は、研究者の間では、誤差等を除けばほぼ一致するモノだと思います。従って、PAMdiracさんのような方から見ると、まさに暴言なのでは?と推察されます。


つい最近、実体験と似たような事例を見付けました。それが、メーカー間でのISO感度の差異です。1〜4枚目は、クチコミのスレ「メーカー間でのISO感度の差異」(2018/08/17)でご紹介した、DxOMarkのISO感度測定結果です。

「メーカー間でのISO感度の差異」に関心を抱いたのは、CIPAが規定したISO感度には、「標準出力感度」 と「推奨露光指数」の2通りがあり、どちらを用いているのかによって、メーカー間にISO感度の差異があるとの記載を見掛けたからです。具体的には、以下のように分かれており、1〜2枚目では、分かり易いよう、以下に示した色分けを行っています。

・標準出力感度: 富士フイルム、オリンパス、パナソニック、ペンタックス ← 赤系
・推奨露光指数: キヤノン、ニコン、ソニー ← 青系

1〜2枚目で用いたDxOMarkのISO感度測定結果では、メーカー間にISO感度の差異は存在しますが、「標準出力感度」 と「推奨露光指数」とで分かれてはいません。

3枚目はオリンパス機のみ、4枚目はキヤノン機のみのDxOMarkのISO感度測定結果です。

3枚目のオリンパスは「標準出力感度」を採用していますが、E-520(2008/05発売)までと、E-30(2008/12発売)以降とで、オリンパスのISO感度の基準が変わったと判断出来ると思います(ISO感度の基準が変わっていないと見做す事の方が余程不自然です)。 E-M5(2012/03発売)以降でも、オリンパスのISO感度の基準が、再び変わったようにさえ見えます。

4枚目のキヤノンは「推奨露光指数」を採用していますが、多少の上下はあるものの、オリンパスのような明らかな変化はないと判断出来ると思います。


3枚目【オリンパス】
〇(グラフでは赤系):4/3、●(グラフでは青系):m4/3

〇E-410: 2007/04発売、4/3、3648×2736(998万画素)、画素ピッチ4.75μm
〇E-3: 2007/11発売、4/3、3648×2736(998万画素)、画素ピッチ4.75μm
〇E-520: 2008/05発売、4/3、3648×2736(998万画素)、画素ピッチ4.75μm
〇E-30: 2008/12発売、4/3、4032×3024(1219万画素)、画素ピッチ4.29μm
●E-P1: 2009/07発売、m4/3、4032×3024(1219万画素)、画素ピッチ4.29μm
〇E-5: 2010/10発売、4/3、4032×3024(1219万画素)、画素ピッチ4.29μm
●E-M5: 2012/03発売、m4/3、4608×3456(1593万画素)、画素ピッチ3.76μm
●E-M10ii: 2015/09発売、m4/3、4608×3456(1593万画素)、画素ピッチ3.76μm
●E-M1ii: 2016/12発売、m4/3、5184×3888(2016万画素)、画素ピッチ3.35 μm


4枚目【キヤノン】
〇(グラフでは青系):フルサイズ/一眼レフ、●(グラフでは緑系):APS-C/一眼レフ、■(グラフでは赤系):APS-C/ミラーレス

●初代X: 2006/09発売、APS-C、3888×2592(1008万画素)、画素ピッチ5.71μm
〇1Ds3: 2007/11発売、フルサイズ、5616×3744(2103万画素)、画素ピッチ6.41μm
●X3: 2009/04 発売、APS-C、4752×3168(1505万画素)、画素ピッチ4.70μm
●X5: 2011/03発売、APS-C、5184×3456(1792万画素)、画素ピッチ4.31μm
〇1DX: 2012/06発売、フルサイズ、5184×3456(1792万画素)、画素ピッチ6.94μm
●X7i: 2013/04発売、APS-C、5184×3456(1792万画素)、画素ピッチ4.31μm
〇1DX: 2016/04発売、フルサイズ、5472×3648(1996万画素)、画素ピッチ6.56 μm
■M5: 2016/11発売、APS-C/ミラーレス、6000×4000(2400万画素)、画素ピッチ3.72 μm


・メーカー間でのISO感度の差異(2018/08/17)
http://bbs.kakaku.com/bbs/-/SortID=22037
162/

2018/8/26 18:42  [2182-62]   

私の実体験も、一般例のような形でご紹介します。



・製品Z(量産品)を、A社がB社に納品するとします。

・製品Zは、ISO規格化されており、測定機材/測定方法のガイドラインも、ISO規格に明記されています。

・A社、B社は、技術的にはほぼ同等で、2社とも、ISO規格のガイドラインに基づく測定機材を所有しています。この測定機材は、同一メーカー製の同一型番製品です。

・A社、B社の間での技術的なやり取りは、それぞれの設計部門が担当していますが、納品時/購入時の責任元は、それぞれの品質保証部門となります。

・ISO規格のガイドラインに基づく、同一メーカー製の同一型番の測定機材にも拘わらず、同じサンプル品(複数)の、A社とB社の測定値は、良い一致を見ません。

・製品ZのISO規格値には、toleranceが記載されています。従って、A社とB社の測定機材で、大きい数値となる測定機材に合わせ下限値を、小さい数値となる測定機材に合わせ上限値を設定すれば、問題はなくなるはずですが、これでは製造マージンが小さくなり過ぎる→歩留まりが大幅に低下してしまうので、A社としては(歩留まり低下分を価格に転嫁出来ない限り)応じるのは困難です。

・次善の策として、A社の測定値をB社の測定値に換算する方法があり得ます。ただし、歩留まりを考慮すると、A社の測定値(ISO規格値外も認める)→B社の測定値(全てISO規格値内)となります。この次善策で特に困るのが、A社の品質保証部門です。社内測定で、「ISO規格値外も認める」事は、通常あり得ないからです。

・ここから先は、(一番肝心な、納入先のB社はOKとしているので)ISO9000等で問題とならないよう、整合性を担保する話し合いが、A社の設計部門、品質保証部門、場合によっては製造部門等も交えて行われます。

・納品時/購入時に、A社、B社の間で再び測定値に齟齬が発生した場合に備え、規格値の上下限サンプル品を両社で保有し、最終的な合否判定は、上下限サンプル品に依る等の取り決めを行います。

・付け加えると、レンズの特性で出て来るSagittalとMeridional(Tangential)とのような分け方を行うと、A社とB社の測定値との大小関係が逆になる事も珍しくありません。



こうなって来ると、実測値が絶対値として正しいかどうかは重要ではなく(注3)、世の中のトレンド(ここで取り上げた例では、B社の測定値)に合っていれば、OKと言う考え方に傾いてしまいます。

(注3)
製品ZのISO規格策定に多少関わっていましたが、策定段階で既に、各社が同一サンプル品(複数)で行った測定値はバラバラで、ISO規格値は妥協の産物でした。

2018/8/26 18:45  [2182-63]   

 PAMdiracさん  

ミスター・スコップさん、
収差やノイズの話の詳細に入る前に、実空間か波数空間かの捉え方に私と違いがあるような気がしています。
計算を実空間で行うか波数空間で行うかは、互いにFourier変換可能である限りどちらで行っても構いません。Fourier変換の基本ですよね。

PSFが既知である場合、入力関数とのconvolutionを1発だけなら手間は変わりません。つまり(3)と(4)は等価です。
これらを拡張して(5)と(6)と表すことにメリットがあるのか?(そもそも等価なのか?)が疑問です。
例えば画素ピッチの効果をPSFで表されるとされていますが、私はPSFで表さずに、現実の場合に即して光量分布を画素ごとに積分しています。
像面上の連続的な光量分布を画素ごとに積分した結果、画素上で一定値を取る不連続関数になります。(像面上の座標(x,y)を引数と考えています。)
このような結果を与える「PSF(画素)」を作り、それを波数空間に変換するという面倒なことをするよりも、素直に画素ごとに光を集めるという方が簡単だし現実に即しています。

点光源の像が連続的な光量分布に変換されるような効果なら、まだ波数空間で考えることもできます。
例えば、ある種の収差はできるでしょうが、画素ピッチで決まるノイズなどは同じ問題を含みます。
従って、PSFやそのFourier変換(OTF)を具体的に作れるのなら(7)を使って単純な積を使う議論ができるのですが、他にわかりやすい方法があるのなら無理してPSFやOTFを使わなくてもよいのでは?というのが私の意見です。

2018/8/26 23:20  [2182-65]   

 PAMdiracさん  

先の投稿で

> これらを拡張して(5)と(6)と表すことにメリットがあるのか?(そもそも等価なのか?)が疑問です。

と婉曲的に書いたのですが、実空間の2つの関数のconvolutionを波数空間で書いた時に2つの関数のFourier変換したものの積で書けるのこと、つまり(5)が(6)の形に書けるためには条件があります。
私が言いたかったのは、収差や画素ピッチ(特に後者)の影響はこの条件を満たしていないということです。

式をplain textで表すので話を1次元とします。

f(x)とh(x)のconvolution = g(x)

とするとき、実際には

∫_{-∞}^∞ dx' f(x') h(x-x') = g(x)

という積分をしています。h(x)はPSFで、像面上のx=0にあるはずの点像が回折などの影響で広がる様子を表しています。h(x-x')はh(x)を+x'だけ平行移動したもので、点像をx'に置いた場合のPSFということです。積分の中のh(x-x')は一般的に積分変換の核と呼ばれ、K(x,x')などと表さるものの1例です。ここで重要なのは、K(x-x')ではなくK(x,x')と書いたことです。
例えばある種の収差による点像の広がりは光軸から離れると大きさ(実際には方向も)が変わるので、点像の位置に依存していて、原点のPSFを平行移動したh(x-x')ではなく、h(x,x')と書くべきです。核が表現する効果が【並進不変性】を持つ時だけ、K(x-x')という1変数関数で表され、そのFourier変換は1つの波数変数で書けるので、convolutionを波数空間で書くとFourier変換した核とf(x)のFourier変換の積という(波数空間での)局所的な形に書けます。しかし並進不変性が無い時は核のFourier変換は2つの波数の関数になり、convolutionをFourier変換したものには波数の積分が1つ残ります。
もしMTFのテストチャートの画面の中央付近だけに限定するのなら、収差については近似的にPSFが実空間で1変数関数で表しても良いかと思いますが、画素ピッチの効果は広がった像と画素の相対的な位置関係や画素の大きさで変わることから(寧ろ変わることを見てコントラストを計算している)、これを実空間で1変数のPSFで表すことは不可能です。その結果、波数空間ではFourier変換の単純な積になりません。

この縁側のルールの最初に「初歩的な物理学等を駆使して、解明して行く事」と書かれてあるので、(6)の形を前提とする数学的に怪しい操作が気になりました。

一方で、ミスター・スコップさんが多数のテスト結果をまとめられて一定の規則性が見出されたことは素晴らしいことかと思います。ただ、建てられた「仮説」が正しいと思われるのは偶然なのか、何らかの根拠があるのかが私には分かりません。
Imatestフォーマットの結果を、傾斜を考慮してLensTipと同等のMTF50の数値に変換して、ミスター・スコップさんが見つけられた系統的な差を示し、両者のテスト・フォーマットを対等に扱えるようにしたいと思っていますが、時間が無くてできていません。

また、ミスター・スコップさんが「仮説」の中で使われている「相対値」「絶対値」が理解できていません。「周波数(MTF)」というのは、コントラストが50%になる空間周波数(LP/mm)のことですよね?
これは、縞模様のコントラストを縞模様の空間周波数・回折・画素ピッチ・収差などの関数として表したもの=0.5、という方程式(収差を入れない時は私のノートの(30)式のC_{1,max}=0.5)を空間周波数(1/L)について解いた結果ですよね。この方程式は空間周波数について非線形の方程式で、その解を絶対値と相対値に分けて議論できる理由が分かりません。

以上のように私が理解できないことが幾つかあって、多数のデータを説明できたのか? 出来たとすればその理由は何か? がわからない状態です。「説明」されたのではなく、単なるデータ・フィッティングをされたということでしたら、そういうものと理解します。

あと、余計なことかもしれませんが、私はミスター・スコップさんが使われている「空間領域」「周波数領域」という言葉が最初ピンと来なくて、「実空間」「波数空間」と呼んでいます。
「領域」というのは「空間」の一部を指しますし、物理の業界では後者をよく使っています。

2018/9/1 13:40  [2182-66]   

PAMdiracさん

私の方からご意見を求めておきながら、レスが超遅くなってしまい、大変申し訳ありません。

PAMdiracさんが疑問を抱かれている、式(5)(6)、あるいは「空間領域」「周波数領域」は、私が考え出した(私のオリジナルの)訳では勿論なく、いくつかの文献からの引用です。ただし、「絶対値」「相対値」のみ、(用語の意味そのものは、一般的に用いられている意味と全く同じはずですが)私のオリジナルです。

8/26の[2182-65]でご意見を頂いた際は、文献をもう一度良く読み直してからご回答しようと思っていたのですが、9/1の[2182-66]を拝見したら、逆に回答しなくて良かったと思いました(*1)。私から回答出来るレベルは、 [2182-66]を拝見した後でも、全く変わりません。私が参考にした文献をPAMdiracさんに改めてご紹介し、PAMdiracさんに真偽の程をご確認頂くのが精一杯だからです。因みに、私が当初参考にした文献は、「まったり会の必読図書/指定図書/参考図書」(そのものズバリのスレも作成済です)に全て含まれています。同様の記載のある文献を、8/26の[2182-65]以降、いくつか見付けたので、それも合わせてご紹介する予定です。

回答が遅れている理由は、思いっ切りの言い訳になりますが、前述の通り、文献を読み直そうと思っていたのに、昨今のフルサイズ・ミラーレスのネタに、完璧に気を取られてしまった為です。自慢には全くなりませんが、私は、まさに「易きに流れる」典型例ですね。


(*1)
いきなり、9/1の[2182-66]のように書かずに、8/26の[2182-65]のようにお書きになられたのは、もしかすると、私へのご配慮だったのかもしれませんが、私が、物理的な事を含め、技術的な事を、PAMdiracさんと対等に話し合えるとは、露程も思っていませんので、9/1の[2182-66]のように、具体的にご教示頂けると幸いです。万一、教育的なご配慮だったとしても、PAMdiracさんの教え子の方々とは天地程の差がありますので、やはり、同様です。


PS.
「波数空間」は、バンド構造等で良く見掛ける「E vs. k」のようなイメージでしょうか?「周波数領域」と「波数空間」とは、分野によって、fieldを場としたり、一部のfieldを界としたりするようなものなのかもしれません。

PAMdiracさんからは、またまた失笑を買いそうですが、もし「波数空間」が、バンド構造のように、格子由来の用語だとしたら(*2)、「波数空間」のみが正解ではないような気はします。「周波数領域」に相当する用語は、文献によってマチマチで(例えば「フーリエ空間」等)、決定打はないようです。ですから、「波数空間」(と「実空間」)でも全く構いません。私の意図は、スレ「まったり会のルール、タグ、用語」で書いたように、

> 空間周波数は、実空間と対で用いられる場合は周波数領域(注:波数空間と同一)を意味し、単独で用いられる場合は空間周波数そのものを意味する場合があると言う曖昧さがあります。

の曖昧さを回避したかっただけですので。

(*2)
・Reciprocal lattice (Wikipedia英語版)
https://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal
_lattice

2018/9/4 14:02  [2182-67]   

PAMdiracさん

スレ「エアリーディスク駅から出発進行!!」等はレベルが低過ぎるので、殆ど目を通されておられないような気が、以前からしていました。例えば、スレ「まったり会のルール、タグ、用語」に目を通して頂いていたなら、「実空間」「波数空間」の方が用語としては適切だったとしても、

> 私はミスター・スコップさんが使われている「空間領域」「周波数領域」という言葉が最初ピンと来なくて

とはならないように思われるからです。


1つ上の書き込みで、

> 因みに、私が当初参考にした文献は、「まったり会の必読図書/指定図書/参考図書」(そのものズバリのスレも作成済です)に全て含まれています。

と書きましたが、イチイチ文献をご確認頂かなくても、スレ「エアリーディスク駅から出発進行!!」に目を通して頂ければ、式(5)(6)等をどこから引用したのかは、お分かり頂けると思います。勿論、

> PAMdiracさんの資料と合わせ、これらの資料(注:「指定図書」「参考図書」)を基に出発すれば、正しい方向に進むはずです。もし間違った方向に進んでしまったら、間違ってしまった原因は、当然ながら、真っ当な資料ではなく、自分にありますから、真っ当な資料に立ち返って、再出発すれば良いだけの事です。

なので、文献は正しくても、私が誤解して引用している可能性は常にあり得ます。付け加えるなら、私が「ズル」と称した公式を、学生時代に独自に証明なさったPAMdiracさんですから、文献の間違いに気付かれるかもしれません。

> 私が参考にした文献をPAMdiracさんに改めてご紹介し、PAMdiracさんに真偽の程をご確認頂くのが精一杯だからです。

には、こうした意味合いが含まれています。

2018/9/4 14:27  [2182-68]   

 PAMdiracさん  

ミスター・スコップさん、
この縁側が始まったときに、「ルール、タグ、用語」を読んで「実空間、...の使用を控え」というのにずっと違和感を持っています。

波数空間はバンド理論などの固体物理に限らず広く使われています。(むしろ固体物理は実空間の格子構造が波数空間のBrillouin zoneに対応していて、通常の連続的で無限に広い両空間を扱う場合に比べて特殊ですね。)
Fourier変換の指数関数または三角関数の引数に k x = (2π/λ) x という形で入っているように、x と k がdualな関係で、(空間)周波数1/λよりは波数の方が2πが無いだけ使いやすいという程度です。xが属するのは「実空間」であり「実空間の(中のある)領域」ではありません。「周波数領域」というと周波数の特定の値の範囲を指すのに使うと思っていたのですが、業界では常識が違うようですので、それに従います。(fieldを「場」と「界」の二通りに訳したことと、spaceとその一部であるdomainを同列で扱うのとは違います。)

また、指定図書と参考図書の全てを読んでいるわけではありませんが、指定図書と参考図書の一部は元のスレでご紹介いただいたときに読んでいます。
ただ、それらの文献のPSFを適用する対象が、私が[2182-66]に書いた並進不変性が無い場合にまで拡大されています。直感的にいうと、像面上のあらゆる場所で点像のボケ具合が同じであると仮定しています。黒田さんのノートにある回折の評価でさえ、光軸上のみを考え全方向から来る光の強度が一様であることを前提として導出されていて、光軸からずれると厳密にはあの式では表せなくなります。元スレでは光軸付近にある1つまたは2つの点像を考えていたので、このことは気にしていませんでした。
種々の効果を考えるときに文献で扱うような理想的な状況はわかりやすいし式も綺麗になりますが、実際のレンズやイメージセンサーを考えるときに、例えば場所ごとに大きさや形が違うスポットダイアグラムをPSFとして考えるなら、一様性の仮定は成り立ちません。

画素ピッチの効果についても、Frontiers in Physicsのpaperでは(13)-(15)で"detectorのPSF"を表していますが、私の光量分布のように画素と点像の相対位置を含まない形になっています。(最初にこれを見たときに不自然に見えたので、私のノートのあるような導出法を採りました。私の結果には画素に対する位置xcという変数が含まれますが、上記の文献にはありません。)

ミスター・スコップさんが、

> 私が参考にした文献をPAMdiracさんに改めてご紹介し、PAMdiracさんに真偽の程をご確認頂くのが精一杯だからです。

と仰られるので、文献で使われる理想化の限界を見極めるのは私のタスクだということでしょうね。画素ピッチの方は終わっています。光学系に大きく依存する収差などはスポットを再現するモデルを作って数値計算すればできそうですが、そこまでして現実に合うことを示せても(他に見落とした効果がなければ再現できるはずで)「はい、合いました」で終わって面白みはありません。

元々私が「空間領域で話をした方がわかりやすいのでは」と思った理由は、上記のように最初からFourier変換した後の周波数領域で考えると、何の効果を取り入れて何を落としているのかがわかりにくいと思ったからです。上述のように、「像面上のどこでも点像のボケ方は同じである」という前提に立つことを認めていればよいのですが(逆に言えば、周辺で酷くなる収差は扱えない)、この辺りの計算を知らない人にはピンと来ないでしょう。

あと[2182-66]に書いたようにMTF(周波数)の「相対値」と「絶対値」を分けて考えることができる理由が知りたいですね。よろしくお願いします。

ミスター・スコップさんが実写テストと比較されて収差の効果を取り入れられています。
収差については前に書いていましたし、皆さん写真を撮っていて感じられているように、光学系に大きく依存しています。簡単な場合の幾何光学的収差は計算式がありますが、実際のレンズは単純な球面レンズ1枚ではないですし、色収差まで入ると硝材でも違うしユニバーサルな議論はできないと思っています。もし、何らかの規則性が抽出できるとしたら、その理由を知りたいのです。

2018/9/4 20:29  [2182-69]   

PAMdiracさん

詳しくご説明頂き、どうもありがとうございます。

> この縁側が始まったときに、「ルール、タグ、用語」を読んで「実空間、...の使用を控え」というのにずっと違和感を持っています。

[2182-67]でも書いた通り、(私が色々(真っ当な文献以外も含みます)を読んだ限り)感じた空間周波数の使い方の曖昧さ(きっと、PAMdiracさんの周辺では生じていない事象だと思います)を回避したかったからだけですので、今後は、「実空間」「波数空間」に改めさせて頂きます。今後も、ご遠慮なくバシバシご指摘頂ければ、幸いです。

> ただ、それらの文献のPSFを適用する対象が、私が[2182-66]に書いた並進不変性が無い場合にまで拡大されています。直感的にいうと、像面上のあらゆる場所で点像のボケ具合が同じであると仮定しています。黒田さんのノートにある回折の評価でさえ、光軸上のみを考え全方向から来る光の強度が一様であることを前提として導出されていて、光軸からずれると厳密にはあの式では表せなくなります。元スレでは光軸付近にある1つまたは2つの点像を考えていたので、このことは気にしていませんでした。
種々の効果を考えるときに文献で扱うような理想的な状況はわかりやすいし式も綺麗になりますが、実際のレンズやイメージセンサーを考えるときに、例えば場所ごとに大きさや形が違うスポットダイアグラムをPSFとして考えるなら、一様性の仮定は成り立ちません。

> 画素ピッチの効果についても、Frontiers in Physicsのpaperでは(13)-(15)で"detectorのPSF"を表していますが、私の光量分布のように画素と点像の相対位置を含まない形になっています。(最初にこれを見たときに不自然に見えたので、私のノートのあるような導出法を採りました。私の結果には画素に対する位置xcという変数が含まれますが、上記の文献にはありません。)

PAMdiracさんの真意が(まだまだ不十分だとは思いますが)やっと分かりました。私は、まさに「Frontiers in Physicsのpaperでは(13)-(15)の"detectorのPSF"」を一般的に広く受け入れられている考え方/数式だと思っていましたので。文献を読み直そうと思っていたのは、(13)-(15)の"detectorのPSF"の位置付けを、私が勘違いしていないかを確認したかったからです。合わせて、(13)-(15)の元になっている(2)-(3)の引用文献(有名な文献のようです)等含め、関連文献も読もうと思っていました。

(私がエアリー強度分布と呼んでいる)無収差のPSFのフーリエ変換で得られる式(3)は、スレ「出発進行」でも書きましたが、極々当たり前のように、四方八方で見掛けます。

ですので、Frontiers in PhysicsのpaperでのPSFの取り扱いは、かなり一般的に用いられているように感じています。PAMdiracさんが問題視なさっている箇所は、他の文献も全て共通なので、他の文献をご紹介する必然性はなくなりましたが、念の為、後日、紹介させて頂きます。


> 文献で使われる理想化の限界を見極めるのは私のタスクだということでしょうね。

もしお願い出来るのなら、よろしくお願い致します。


> あと[2182-66]に書いたようにMTF(周波数)の「相対値」と「絶対値」を分けて考えることができる理由が知りたいですね。よろしくお願いします。

「相対値」を用い出した切っ掛けは、PAMdiracさんにご紹介した「α7Rii & FE55mmF1.8ZA」で、実測値がLensTipとOpticalLimitsとで大きく異なっていたからです。それぞれの最大値で規格化すると、F値依存性に大きな差異は見られませんでした。実測値を1つの評価機関に絞るのは、(私が絶対値を重視していない理由と重なりますが)避けたかったので、LensTipとOpticalLimitsの(空間周波数の)実測値のF値依存性は、相対値で扱う事にしました。さらに、私が計算値を全て相対値で扱っていた(画素ピッチ、空間周波数等を、エアリーディスク半径(の逆数)によって規格化した)事も大きな理由です。この点は非常に反省しており、次回は絶対値で計算し直そうと思っています。

相対値での実測値と(胡散臭さ満載の)計算値との差は、収差に依るのでは?と思った時に見付けた収差と口径との関係式は、単に比例関係を示すモノでしたが、相対値で推し進めて来たので、却って?好都合でした。

一方、(空間周波数の)実測値を絶対値で扱ったのは、それぞれでの最大値のみです。前述の通り、計算値は全て相対値なので、最大値の画素ピッチ依存性と言うシンプルな形で纏めました。こちらは、光学系(回折、収差)の影響が最も小さい場合が、(空間周波数の)実測値の最大値となるはずなので、定性的には成り立っていても不思議ではないと思っています。

勿論、PAMdiracさんの、

> ただ、建てられた「仮説」が正しいと思われるのは偶然なのか、何らかの根拠があるのかが私には分かりません。

とのご指摘は、ご尤もです。自分でも重々承知していますから、「まったり仮説」と名付けました。


まだまだ、PAMdiracさんから頂いた宿題は残っていますので、後日、回答させて頂きます。申し訳ありません!!

2018/9/5 09:11  [2182-70]   


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